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Apéndice 1 

Distancia frente a tiempo bajo aceleración constante: equivalencia entre el

potencial y la energía cinética

La velocidad (v) es la proporción a la que varía la distancia; es

decir, la derivada de distancia respecto del tiempo:

v

= d

x

dt

(1)

La variable

v

se escribe en negrita para indicar que se trata de un

vector: tiene tanto magnitud como dirección. La distancia

x

es

un vector que se dirige desde el origen hasta la localización actual

de la partícula o el objeto; se llama «vector de posición». El tiempo

(t) es un escalar; tiene magnitud pero no dirección, por eso no se

escribe en negrita.

La aceleración

(a)

es la proporción a la que la velocidad

varía a lo largo del tiempo. Es la derivada del vector de la veloci-

dad, o la segunda derivada de la distancia respecto del tiempo:

a

= d

v

dt = (d

dt)(d

x

dt) = d

2

x

dt

2

(2)

Si un objeto comienza con una velocidad cero (

v

=  0) a un

tiempo cero (t =  0) y entonces acelera con una aceleración constante

(a),

su velocidad en el tiempo t será simplemente

v

=  

a

t. Para calcular

la distancia que ha recorrido el objeto entre el tiempo t =  0 y el tiempo

t, debe dividirse el intervalo de tiempo de 0 a t en una serie de muchos

intervalos pequeños, cada uno con una duración de tiempo dt. La

distancia recorrida durante el intervalo dt es simplemente la velocidad

respecto del tiempo multiplicada por el intervalo de tiempo:

d

x

=

v

dt = (

a

t)dt

(3)

En el segundo paso, se ha sustituido la relación de la cons-

tante de aceleración

v

=  

a

t de arriba. Ahora, para cuantificar la

distancia total recorrida, debe sumarse la distancia de todos los

intervalos de tiempo dt pequeños que se producen entre 0 y t:

x

=

(

a

t) dt

(4)

Si la duración del intervalo de tiempo dt se aproxima a cero,

la sumatoria se convierte en la integral respecto del tiempo desde

el tiempo cero hasta el tiempo t:

x

=

v

dt =

  (

a

t)dt = ​ 1 __

2

a

t

2

(5)

Un objeto que empieza desde el reposo a t =  0 y se mueve con

una aceleración constante

(a)

se moverá una distancia ½

a

t

2

en un

tiempo t. Para un objeto que cae (en el vacío, donde no hay resistencia

del aire), a =  g =  9,8m/s

2

, y la fórmula de la distancia se convierte en:

x = ​ 1 __ 

2

​gt

2

= (4, 9)t

2

(6)

En el primer segundo el objeto cae 4,9 m; después de 2 segundos

ha caído 19,6 m; a los 3 segundos 44,1 m, y así sucesivamente.

La energía cinética (EC) de un objeto en movimiento es:

EC= ​ 1 __

2

​mv

2

(7)

donde m es la masa del objeto y v es la magnitud de su velocidad

(también llamada rapidez). Obsérvese que la v utilizada con este

sentido no aparece en negrita. Considérese otra vez el objeto que

estaba cayendo que comenzó en la posición x=0 a un tiempo t =0

y que cae a una distancia h:

h = ​ 1 __ 

2

​gt

2

, o

t = ​

______

(2h/g)​

(8)

Puesto que la velocidad v=at =gt se sustituye por la ecuación 8:

V = gt = g​

______

(2h/g)​= ​

_____

(2gh)​

(9)

La energía cinética se obtiene de:

EC = ​ 1 __ 

2

​mv

2

= ​ 1 __

2

​m(2gh) = mgh

(10)

Considérese ahora el trabajo requerido para subir a su

altura original (h) el objeto que se había caído. El trabajo se define

como la fuerza que se ejerce por la distancia a la que actúa dicha

fuerza: W=Fd. La fuerza de la gravedad que actúa sobre el objeto

es F

g

=mg, por lo que el trabajo requerido para recorrer esa dis-

tancia (h) hasta x=0 es:

W = Fd = (mg)d = mgh

(11)

El trabajo requerido para dejar el objeto con la misma

energía cinética que tenía antes de caer es EC=W=mgh. Cuando

se deja caer el objeto desde x=h hasta x=0 aumenta su energía

potencial (EP) en una cantidad mgh. Esta energía potencial puede

convertirse en energía cinética dejando que el objeto caiga la

distancia h. Este tipo de energía potencial, llamada potencial

gravitatoria, tiene un valor que depende claramente de dónde se

localice el origen de sus coordenadas, x=0. Sin embargo, es el

cambio de la energía potencial, no su valor absoluto, la proporción

entre energía potencial/energía cinética:

EC = −

EP

(12)

El cambio de la energía cinética es igual, pero de signo

opuesto, al cambio de la energía potencial.

Apéndice 2 

Física de la presión hidrostática

Un manómetro de líquido es un medio simple y fiable para moni-

torizar presiones que no cambian de forma rápida. Simplemente

utiliza el peso de una columna vertical de líquido medida para

equilibrar la presión que se ejerce contra el extremo de la columna.

Se ha definido el peso como la fuerza que ejerce la gravedad sobre

una masa (m): F

g

  = mg. Para determinar el peso de una columna

de líquido de dimensiones conocidas (el manómetro de la

fig. 28- 4 )

, debe conocerse primero la densidad (masa por unidad de

volumen) del líquido. Las dimensiones de la densidad son m/l

3

, y

las unidades del SI son kilogramos por metro cúbico (kg/m

3

).

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Control de la anestesia

III