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Apéndice 1
Distancia frente a tiempo bajo aceleración constante: equivalencia entre el
potencial y la energía cinética
La velocidad (v) es la proporción a la que varía la distancia; es
decir, la derivada de distancia respecto del tiempo:
v
= d
x
dt
(1)
La variable
v
se escribe en negrita para indicar que se trata de un
vector: tiene tanto magnitud como dirección. La distancia
x
es
un vector que se dirige desde el origen hasta la localización actual
de la partícula o el objeto; se llama «vector de posición». El tiempo
(t) es un escalar; tiene magnitud pero no dirección, por eso no se
escribe en negrita.
La aceleración
(a)
es la proporción a la que la velocidad
varía a lo largo del tiempo. Es la derivada del vector de la veloci-
dad, o la segunda derivada de la distancia respecto del tiempo:
a
= d
v
dt = (d
dt)(d
x
dt) = d
2
x
dt
2
(2)
Si un objeto comienza con una velocidad cero (
v
= 0) a un
tiempo cero (t = 0) y entonces acelera con una aceleración constante
(a),
su velocidad en el tiempo t será simplemente
v
=
a
t. Para calcular
la distancia que ha recorrido el objeto entre el tiempo t = 0 y el tiempo
t, debe dividirse el intervalo de tiempo de 0 a t en una serie de muchos
intervalos pequeños, cada uno con una duración de tiempo dt. La
distancia recorrida durante el intervalo dt es simplemente la velocidad
respecto del tiempo multiplicada por el intervalo de tiempo:
d
x
=
v
dt = (
a
t)dt
(3)
En el segundo paso, se ha sustituido la relación de la cons-
tante de aceleración
v
=
a
t de arriba. Ahora, para cuantificar la
distancia total recorrida, debe sumarse la distancia de todos los
intervalos de tiempo dt pequeños que se producen entre 0 y t:
x
=
(
a
t) dt
(4)
Si la duración del intervalo de tiempo dt se aproxima a cero,
la sumatoria se convierte en la integral respecto del tiempo desde
el tiempo cero hasta el tiempo t:
x
=
v
dt =
(
a
t)dt = 1 __
2
a
t
2
(5)
Un objeto que empieza desde el reposo a t = 0 y se mueve con
una aceleración constante
(a)
se moverá una distancia ½
a
t
2
en un
tiempo t. Para un objeto que cae (en el vacío, donde no hay resistencia
del aire), a = g = 9,8m/s
2
, y la fórmula de la distancia se convierte en:
x = 1 __
2
gt
2
= (4, 9)t
2
(6)
En el primer segundo el objeto cae 4,9 m; después de 2 segundos
ha caído 19,6 m; a los 3 segundos 44,1 m, y así sucesivamente.
La energía cinética (EC) de un objeto en movimiento es:
EC= 1 __
2
mv
2
(7)
donde m es la masa del objeto y v es la magnitud de su velocidad
(también llamada rapidez). Obsérvese que la v utilizada con este
sentido no aparece en negrita. Considérese otra vez el objeto que
estaba cayendo que comenzó en la posición x=0 a un tiempo t =0
y que cae a una distancia h:
h = 1 __
2
gt
2
, o
t =
√
______
(2h/g)
(8)
Puesto que la velocidad v=at =gt se sustituye por la ecuación 8:
V = gt = g
√
______
(2h/g)=
√
_____
(2gh)
(9)
La energía cinética se obtiene de:
EC = 1 __
2
mv
2
= 1 __
2
m(2gh) = mgh
(10)
Considérese ahora el trabajo requerido para subir a su
altura original (h) el objeto que se había caído. El trabajo se define
como la fuerza que se ejerce por la distancia a la que actúa dicha
fuerza: W=Fd. La fuerza de la gravedad que actúa sobre el objeto
es F
g
=mg, por lo que el trabajo requerido para recorrer esa dis-
tancia (h) hasta x=0 es:
W = Fd = (mg)d = mgh
(11)
El trabajo requerido para dejar el objeto con la misma
energía cinética que tenía antes de caer es EC=W=mgh. Cuando
se deja caer el objeto desde x=h hasta x=0 aumenta su energía
potencial (EP) en una cantidad mgh. Esta energía potencial puede
convertirse en energía cinética dejando que el objeto caiga la
distancia h. Este tipo de energía potencial, llamada potencial
gravitatoria, tiene un valor que depende claramente de dónde se
localice el origen de sus coordenadas, x=0. Sin embargo, es el
cambio de la energía potencial, no su valor absoluto, la proporción
entre energía potencial/energía cinética:
∆
EC = −
∆
EP
(12)
El cambio de la energía cinética es igual, pero de signo
opuesto, al cambio de la energía potencial.
Apéndice 2
Física de la presión hidrostática
Un manómetro de líquido es un medio simple y fiable para moni-
torizar presiones que no cambian de forma rápida. Simplemente
utiliza el peso de una columna vertical de líquido medida para
equilibrar la presión que se ejerce contra el extremo de la columna.
Se ha definido el peso como la fuerza que ejerce la gravedad sobre
una masa (m): F
g
= mg. Para determinar el peso de una columna
de líquido de dimensiones conocidas (el manómetro de la
fig. 28- 4 ), debe conocerse primero la densidad (masa por unidad de
volumen) del líquido. Las dimensiones de la densidad son m/l
3
, y
las unidades del SI son kilogramos por metro cúbico (kg/m
3
).
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Control de la anestesia
III